جديدترين بررسي ها در باره کاربرد رياضيات پيشرفته در کاشي کاري بناهاي اسلامي از جمله مسجد امام اصفهان و گنبد مراعه در مجله ساينس منتشر شد. 
 
 يافته هاي جديد در زمينه رياضيات در كشورهاي  اسلامي كه در مجله ساينس منتشر شده است نشان مي‌دهد  رياضيات در اين مناطق  به مراتب از آن چه  که تاکنون تصور مي شد پيشرفته تر بوده است.
به گزارش مجه سايتس دانشمندان اعلام کردند بررسي اشکال هندسي پيچيده در کاشي هاي تزييني که بر روي شاهکارهاي معماري اسلامي مربوط به قرن پانزدهم ميلادي وجود دارد ،  نشان مي دهد اعداد کوچک در اشکال شبه کريستالي نقش بسيار مهمي داشته اند.
براساس اين گزارش تنها در دهه هاي 1970 بود که پرفسور «راجر پن رز» رياضي دان و کيهان شناس انگليسي براي اولين بار اين اشکال هندسي را براي علاقمندان غربي تشريح کرد.
دراين گزارش همچنين آمده است:« اشکال و الگوهاي شبه کريستالي در کاشي کاري هاي اسلامي شامل مجموعه اي از واحدهاي در هم پيچيده اي است که در آن الگوي هندسي حتي هنگامي که که به گونه اي نامتناهي درتمام جهات امتداد مي يابند و فرم ويژه اي از تقارن مي يابند، هرگز تکرار نمي شوند.»
«آرتور پيتر لو »از دانشگاه هاروارد که اين مقاله را چاپ و منتشر کرده است  با اشاره به اين که اشکال هندسي خيره کننده موجود در کاشي هاي يک بناي اسلامي نشان دهنده الگوي هندسي ويژه اي است که نشان مي دهد که طراحان اين اشکال هندسي ا ز رياضي دانان اروپايي 500 سال جلوتر بوده اند، او افزوده است :«اين اشکال حقيقتا گيج کننده اند زيرا رياضيات به گونه اي چنان شگفت انگيز در اين کاشي کاري ها به کاررفته است که ما تا 20 -30 سال پيش نتوانستيم متوجه آن شويم.»
«ارتور لو» و همکارش پرفسور« پاول استين هاردي» از دانشگاه پرينستون به ويژه طراحي و اشکال موجود در «درب مسجد امام در اصفهان» را عالي ترين نمونه از کاربرد رياضيات پيشرفته در آثار هنر معماري اسلامي معرفي مي کنند که در سال 1453 ساخته شده است.
دربخشي از اين گزارش با اشاره به ممنوعيت تصوير گري در اسلام آمده است که مسجدها و ديگر يناهاي شاخص اسلامي در سرتاسر خاورميانه ،آسياي مرکزي و ديگر سرزمين هاي اسلامي اعلب از اشکال غني ، دقيق و پيچيده اي پوشيده شده است که بر اساس الگوهاي هندسي دقيقي طراحي شده اند.
آرتور لو در بررسي هايي که در درباره رياضيات پيشرفته در هنر کاشي کاري اسلامي انجام داده و نتايج آن نيز در مجله ساينس چاپ و منتشر شده ، تاکيد کرده است که اين اشکال هندسي نشان مي دهد که کشورهاي اسلامي در زمينه رياضيات و طراحي به چه ميزاني از پيشرفت دست يافته بودند.
به گفته او شما مي توانيد در تمامي آثار شاخص اسلامي شاهد تکامل تدريجي و فزاينده رياضيات در ترسيم اشکال هندسي باشيد که در بيشتر موارد از يک الگوي ساده شروع شده و سپس به تدريج پيچيدگي بيشتر و بيشتري مي يابد.
در ادامه اين گزارش خاطر نشان شده است :زماني که اروپا در باتلاق هاي عصر تاريکي به سر مي برد فرهنگ اسلامي که درقرن هفتم هجري  شکل گرفته بود، طي قرن هاي متمادي با دستاوردهاي مهمي در رشته هاي مختلف رياضي، پزشکي، مهندسي، سراميک، هنر و انواع دست بافته ها، معماري و ديگر رشته هاي علمي در اوج شکوفايي خود بود.
آرتور لو همچنين گفته است که يافته هاي جديد در زمينه رياضيات اسلامي نشان مي دهد که فرهنگ اسلامي به مراتب از آن چه که تا کنون تصور مي شد پيشرفته تر بوده است.
علت اصلي انجام اين بررسي ها آن بود که لو حين سفر به ازبکستان متوجه مسجدي مربوط به قرن شانزدهم ميلادي شد که در کاشي کاري هاي آن ازموتيف هاي ده ضلعي استفاده شده است. اين مسئله توجه و کنجکاوي وي را به کاشي کاري هاي شبه کريستالي در مساجد اسلامي جلب کرد.
طبق همين گزارش اين موضوع پيشتر نيز مورد توجه محققان غربي بسياري قرار گرفته بود چنان که در سال هاي دهه 1900 پرفسور «امي ماکويسکي »از دانشگاه کپنهاگ دانمارک نيز متوجه چنين موضوعي در مسجد هاي اسلامي به ويژه در گنبد مسجد مراغه شد که در سال 1197 ساخته شده است.

مسئله : مجموع مربعات ارقام هر عددي ، عدد ديگر را تشکيل مي دهد ، مجموع مربعات اين عدد نيز عدد ديگري را درست مي کند . اگر مجموع مربعات ارقام اين اعداد را مکرراً حساب کنيم به عدد يک يا عدد چهار مي رسيم . آيا ممکن است به عدد ديگري برسيم ؟عدد 32 را در نظر مي گيريم
 

 1   ------- 10  --------  13  --------- 32

 
تعريف : اعدادي که پس از چندين بار محاسبه ي مجموع مربعات ارقامشان به يک ختم مي شوند را اعداد سعد (( نيک )) ((Happy Namber or Luchy Number )) مي نامند .

تلفن همراه امروزه یک وسیله ی نسبتاً عادی تلقی می شود. چه کسی هرگز یک تلفن همراه ندیده یا با آن تلفن نزده اس ؟ اما نادرند کسانی که به موارد علمی و فنی دخیل در آن بیندیشند.

امروزه استفاده از تلفن همراه در خیلی از کشورها بسیار متداول شده است. مدتی بیش نمی گذرد که وضعیت به کلی متفاوت بود. در  1985  تعداد زیادی سیستم های تلفن بی سیم وجود داشت که توسط تولید کنندگان بزرگ با سوابق تاریخی ملی گسترش یافته و به صورت تجاری در آمده بود. اما این تلفن ها با یکدیگر ناسازگار بودند. به علت اینکه ویژگی های فنی این سیستم ها متفاوت بودن و امکان ارتباط از یک شبکه به شبکه ی دیگر وجود نداشت. برای اینکه بتوان این سازگاری را محقق ساخت، می بایست با مجموعه ای از ویژگیه های فنی، ینی یک معیار و رهیافت مشترک توافق کرد. این امر از پنج سال پیش شروع شد که در خلال آن معیار GSM  ( سیستم جهانی ارتباط با تلفن همراه ) در اروپا مطرح شد، و با ابتکار دو شرکت تلفن فرانسوی و آلمانی تلکوم در آن زمان ابداع گشت. اولین سیستمهای تجاری مبتنی بر این معیار در آغاز سالهای  1990  به کار گرفته شد و حدود اواسط دهه ی نود بود که GSM  حقیقتاً به عنوان تنها وسیله ی استاندارد واقعی بین المللی تلفن همراه به مرحله ی ظهور رسید. رشد کنونی شبکه ی تلفن های همراه از نسل سوم، در واقع یک شاهد بارز از اهمیتی است که این سیتم GSM  برای خود کسب کرده است. منظور از پیدایش نسل سوم، سیستم UMTS  ( سیستم ارتباطی تلفن همراه بین المللی ) می باشد که گسترش طبیعی پدیده ی GSM  است.

سیستم GSM  یک پیچیدگی عمیق علمی و فنی را می پوشاند

استفاده کننده ی تلفن همراه به ندرت از پیچیدگی های عمیق علمی و فنی که در پس شبکه های رادیو – موبایل نهفته است آگاهی دارد. به عنوان مثال، سیستم GSM  حاوی بیش از  5000  صفحه ویژگی های تخصصی و فنی می باشد که خواندن آن حتی برای متخصصین مشکل است ! و پرونده ی آن با بسته شدن بسیار فاصله دارد، زیرا کوشش های تحقیقاتی و پیشرفت عظیمی چه توسط موسسات بزرگ مهندسی رادیو – تلفنی و چه توسط آزمایش های بزرگ دانشگاهی در حال انجام بوده و سرمایه گذاری شده است تا بدون توقف کیفیت و کارایی شبکه های تلفن موبایل را بهبود بخشد.

سیستم GSM  بر مجموعه ای از فنون استادانه متکی است که از ارتباط مخابرات کلاسیک ، انفورماتیک ( علوم رایانه ) ، ریاضیات و پردازش سیگنال مشتق می شوند. به ویژه ریاضیات و الگوریتم نقش بنیادی در درک و عملکرد خوب سازو کارهای داخل شبکه های رادیو – موبایل ایفا می کند. این ریاضیات چنان پایه های نظری را تامین می کند که بر اساس آن تقریباً تمام مراحل بنیادی پردازش اطلاعات لازم در مدیریت یک ارتباط تلفنی توسط یک تلفن همراه انجام می شود . الگوریتم این فرصت را بدست داده است تا این نتایج بنیادی را در مقاوله نامه ی ای به صورت موثر و کارا تبدیل کرد، به گونه ای که بتوان از این نتایج به طور عینی در بطن یک شبکه ی رادیو – موبایل بهره جست.

الگوریتم هایی برای عددی کردن اطلاعات، تقسیم کردن اطلاعات به بسته ها ، رمز گذاری اطلاعات و غیره

برای نمایش تلاقی این دو زمینه در تلفن همراه، با جزئیات بیشتر به روشی ، نظاره می کنیم که برقراری یک ارتباط تلفنی را ، هنگامی که یک کاربر شماره ای را روی دستگاه تلفن می گیرد ، سامان می دهد. ابتدا تمام داده های انتقال یافته در آستانه ی ورود به یک شبکه ی رادیو – موبایل منحصراً اعدادی هستند که در واقع از «پاکت ها» یا بسته هایی تشکیل یافته که یک دنباله اعداد  0  و  1  به طول ثابت است و هر یک چهارم ثانیه گسیل می شوند و شامل مجموعه ای از اطلاعات ( صحبت کردن ، شناسایی تلفن همراه ، کیفیت دریافت صوتی موبایل و غیره ) وابسته به یک ارتباط تلفنی معین می باشند. علاوه بر مدیرت در حرکت استفاده کننده ، تفاوت عمده ی بین تلفن همراه و تلفن ثابت کلاسیک مسلماً در این امر نهفته است که بسته های اطلاعات عددی توسط امواج هرتز منتشر می شوند نو توسط کابل ها. این امر نیاز به راه اندازی یک مجموعه از فنون الگوریتمیک و ریاضی بسیار ویژه دارد، که به ترتیب دخالت الگوریتم گسترده، بهینه سازی ترکیبی در پردازش عددی سیگنال ، هندسه ی الگوریتمیک یا رمز گذاری تصحیح کننده خطاها را شامل می شود ، و این فقط برخی قلمروها را در میان بسیاری دیگر پیش می کشد.

بسته های اطلاعات در واقع به طور ناگهانی منتقل نمی شوند. برای اطمینان از مرحمانه بودن اطلاعات، هر بسته به کمک یک مقاوله نامه ی رمز گذاری که ویژه ی دستگاه مورد نظر است و با استفاده از کلیدهای مخفی مخصوص هر اپراتور ( عملگر ) ، رمزگذاری می شود ( و می دانیم که روش های رمز گذاری بر مبنای فنون و مفاهیم جبری یا هندسی که اغلب بسیار پیشرفته هم هستند متکی می باشند ). مدیریت انتقال هرتزی که شایسته ی این عنوان باشد مستلزم یک پردازش از پیش تعیین شده برای هر بسته ی اطلاعات می باشد. کانال هرتزی در واقع تحت انواع مختلف اغتشاشات قرار می گیرد که روی سیگنال های گسیل یافته توسط یک تلفن همراه اثر می گذارد. به عنوان مثال ، جذب ها و انعکاس های امواج هرتزی توسط ساختمان ها باعث یک تضعیف و یک فاز زدایی از هر سیگنال گسیل یافته توسط هر تلفن همراه می شود. همینطور هر سیگنال ، بازگشت های متعدد یا پژواک هایی را شامل می شود که باید در نظر گرفته شود. همچنین یک بخش از هر بسته ی اطلاعات از بازیافت سیگنال سرچشمه که در دریایی از پژواک ها ( اکوها ) غوطه ورند، به ویژه اخذ می شود.

این مسائل مسلماً از مدت ها قبل ، چه از لحاظ نظری و چه علمی مورد مطالعه قرار گرفته اند. با این وجود ، قیود مهندسی مختص شبکه های رادیو – موبایل ، مستلزم گسترش و به کارگیری یک بخش مهم از ابزار ریاضی کلاسیک شده اند که در این مقوله ها مورد استفاده قرار می گیرند .

الگوریتم هایی برای عددی کردن اطلاعات، تقسیم کردن اطلاعات به بسته ها ، رمز گذاری اطلاعات و غیره

برای نمایش تلاقی این دو زمینه در تلفن همراه، با جزئیات بیشتر به روشی ، نظاره می کنیم که برقراری یک ارتباط تلفنی را ، هنگامی که یک کاربر شماره ای را روی دستگاه تلفن می گیرد ، سامان می دهد. ابتدا تمام داده های انتقال یافته در آستانه ی ورود به یک شبکه ی رادیو – موبایل منحصراً اعدادی هستند که در واقع از «پاکت ها» یا بسته هایی تشکیل یافته که یک دنباله اعداد  0  و  1  به طول ثابت است و هر یک چهارم ثانیه گسیل می شوند و شامل مجموعه ای از اطلاعات ( صحبت کردن ، شناسایی تلفن همراه ، کیفیت دریافت صوتی موبایل و غیره ) وابسته به یک ارتباط تلفنی معین می باشند. علاوه بر مدیرت در حرکت استفاده کننده ، تفاوت عمده ی بین تلفن همراه و تلفن ثابت کلاسیک مسلماً در این امر نهفته است که بسته های اطلاعات عددی توسط امواج هرتز منتشر می شوند نو توسط کابل ها. این امر نیاز به راه اندازی یک مجموعه از فنون الگوریتمیک و ریاضی بسیار ویژه دارد، که به ترتیب دخالت الگوریتم گسترده، بهینه سازی ترکیبی در پردازش عددی سیگنال ، هندسه ی الگوریتمیک یا رمز گذاری تصحیح کننده خطاها را شامل می شود ، و این فقط برخی قلمروها را در میان بسیاری دیگر پیش می کشد.

بسته های اطلاعات در واقع به طور ناگهانی منتقل نمی شوند. برای اطمینان از مرحمانه بودن اطلاعات، هر بسته به کمک یک مقاوله نامه ی رمز گذاری که ویژه ی دستگاه مورد نظر است و با استفاده از کلیدهای مخفی مخصوص هر اپراتور ( عملگر ) ، رمزگذاری می شود ( و می دانیم که روش های رمز گذاری بر مبنای فنون و مفاهیم جبری یا هندسی که اغلب بسیار پیشرفته هم هستند متکی می باشند ). مدیریت انتقال هرتزی که شایسته ی این عنوان باشد مستلزم یک پردازش از پیش تعیین شده برای هر بسته ی اطلاعات می باشد. کانال هرتزی در واقع تحت انواع مختلف اغتشاشات قرار می گیرد که روی سیگنال های گسیل یافته توسط یک تلفن همراه اثر می گذارد. به عنوان مثال ، جذب ها و انعکاس های امواج هرتزی توسط ساختمان ها باعث یک تضعیف و یک فاز زدایی از هر سیگنال گسیل یافته توسط هر تلفن همراه می شود. همینطور هر سیگنال ، بازگشت های متعدد یا پژواک هایی را شامل می شود که باید در نظر گرفته شود. همچنین یک بخش از هر بسته ی اطلاعات از بازیافت سیگنال سرچشمه که در دریایی از پژواک ها ( اکوها ) غوطه ورند، به ویژه اخذ می شود.

این مسائل مسلماً از مدت ها قبل ، چه از لحاظ نظری و چه علمی مورد مطالعه قرار گرفته اند. با این وجود ، قیود مهندسی مختص شبکه های رادیو – موبایل ، مستلزم گسترش و به کارگیری یک بخش مهم از ابزار ریاضی کلاسیک شده اند که در این مقوله ها مورد استفاده قرار می گیرند .

استفاده از نظریه ی گراف ها برای تجویز مناسب فرکانس ها

دستاورد الگوریتمیک و ریاضیات ، به زنجیر پردازش اطلاعات عددی ، که ما به سرعت اشاره کردیم ، محدود نمی شود. فنون الگوریتمیک به ویژه برای تنظیم موثر فرکانس های رادیویی که هر اپراتور در اختیار دارد از فنون بنیادی است. سازمان ها ی رسمی به هر اپراتور بخشی از نوار فرکانسی مورد استفاده اش را اجاره می دهدکه نسبتاً گران تمام می شود، با این وصف ، تعداد کمی ، حدود  300  فرکانس در بطن این نوار واقعاً قابل استفاده اند. دو ارتباط در یک زمان توسط دو تلفن همراه متفاوت ، نمیتوانند روی فرکانس های نزدیک به هم انجام شوند زیرا تداخل امواج بر کیفیت انتقالات اثر می گذارد. بنابراین لازم است بدانیم چگونه به طریق بهینه فرکانس های متداول در میان استفاده کنندگان را ، که به واقع بیشتر از تنوع فرکانس ها می باشند، توزیع کنیم. می توان نشان داد که یک نفر نمی تواند این نوع معادله را در یک زمان معقول حل کند. روش های الگوریتمیک ، به مبنای مدل های ریاضی ، برای اجرای یک برنامه ریزی طراحی شده اند که بتواند به طور موثر و به طور تقریبی ، مساله ی اجاره دادن فرکانس ها را حل کند، در این مورد نظریه گراف ها تعیین کننده بوده اندف تمام این مسائل از نقطه نظر صنعتی حائز اهمیت ویژه ای است و هنوز مورد تحقیقات بسیار فعال می باشد.

استفاده از نظریه ی گراف ها برای تجویز مناسب فرکانس ها

در جنگ جهانی دوم فرماندهی نظامی در انگلستان از گروهی از دانشمندان دعوتی بعمل آورد تا در مسائل سوق الجیشی و تدابیر جنگی مربوط به دفاع زمینی و هوایی این کشور مطالعه نمایند. هدف آنها تعیین موثرترین روش استفاده از منابع محدود نظامی بود. از جمله مسائلی که مورد بررسی قرار گرفت مطالعه کارایی بمب افکنهای نوع جدید و روش استفاده از راداری بود که به تازگی اختراع شده بود. تشکیل این گروه علمی به عناون اولین فعالیت رسمی تحقیق در عملیات به شمار آمده است.
نام تحقیق در عملیات ظاهراْ بدین مناسبت داده شده بود که این گروه به پژوهش در عملیات(نظامی) پرداخته بود. این رشته جدید تصمیم گیری از آغاز به عنوان رشته ای شناخته شده است که اطلاعات علمی را از طریق تلاش گروهی متخصص در نظامهای مختلف به منظور تعیین بهترین نحوه استفاده از منابع محدود به کار می گیرد.
نتایج امیدبخشی که توسط گروههای تحقیق در عملیات در بریتانیا به دست آمده بود فرماندهی نظامی ایالات متحده را بر آن داشت تا فعالیتهای مشابهی را شروع نماید. از فعالیتهای موفقیت آمیز گروههای آمریکایی می توان مطالعه مسائل پیچیده تدارکات نظامی٫ ابداع الگوهای جدید پرواز٫ طرح مین گذاری دریا و استفاده موثر از وسائل الکترونیکی را نام برد.
پس از جنگ موفقیت گروههای نظامی توجه مدیران صنعتی را به خود جلب کرد. اینان در جستجوی راه حلهایی برای مسائل خود بودند که بر اثر وارد شدنتخصص شغلی در تشکیلات تجاری روز به روز حادتر می شدند. زیرا با وجود این واقعیت که اصولا مشاغل تخصصی برای خدمت به هدف کلی یک سازمان به وجود می آیند٫ اهداف فردی این مشاغل ممکن است همواره با مقاصد آن سازمان سازگار نباشند. این وضع منجر به مسائل تصمیم گیری پیچیده ای شده است که نهایتا سازمان تجاری را مجبور نموده تا درصدد استفاده از موثرترین روشهای تحقیق در عملیات برآیند.
اگرچه پیشگامی تحقیق در عملیات به عنوان یک نظام جدید با بریتانیای کبیر بود چیزی نگذشت که رهبری این رشته به سرعت در حال رشد را ایالات متحده به دست گرفت. اولین تکنیک ریاضی در این رشته که مورد قبول همه قرار گرفت و روش سیمپلکس برنامه ریزی خطی نامیده شد در سال ۱۹۴۷ توسط ریاضیدان آمریکایی جورج.ب. دانتسیک به وجود آمد. ار آن به بعد با تلاشها و همکاریهای علاقه مندان در موسسات علمی و صنعتی تکنیکها و کاربردهای جدیدی پدید آمده اند.
تاثیر تحقیق در عملیات را امروزه می توان در بسیاری از زمینه ها مشاهده نمود. صحت این امر تعداد زیاد موسسات علمی است که دوره هایی در سطوح تحصیلی مختلف در این رشته عرضه می نمایند. در حال حاضر بسیاری از شرکتهای مشاور در مدیریت سرگرم فعالیتهای تحقیق در عملیات می باشند. این فعالیتها از کاربردهای تجاری و نظامی فراتر رفته و اکنون بیمارستانها٫ موسسات مالی٫ کتابخانه ها٫ طراحی شهرها٫٫ دستگاههای ترابری و حتی بررسیهای کشف جنایت را در برگرفته اند.

آنها معتقد بودند که در ساخت هر نهاد منطقی باید یک یا چند گزاره را بعنوان فرض در نظر گرفت و سایر احکام را بر اساس آنها اثبات کرد. آنها تجربه کرده بودند که اگر سعی کنند تمام گزاره ها را به اثبات برسانند بدون شک به یک دور باطل خواهند رسید.

فرضیات تجربی و ریاضی
فرضیات معمولا” از طریق مشاهده و احساس عمومی انسان بعنوان یک مطلب درست و منطقی به شمار می آیند و دانشمند بر اساس فرضیاتی که ارائه می کند می تواند قضایایی را ارائه، اثبات کند و بر اساس این دو علمی را پایه ریزی نماید. تفاوت مهم میان علوم تجربی و علوم ریاضی در آن است که اثبات قضایا در علوم تجربی از راه تجربه و مشاهده بوده در حالی که در علوم ریاضی از طریق استدلال و محاسبه می باشد.

بعنوان مثال یک زیست شناس پس آنکه توانست قسمت های مختلف یک گیاه را شناسایی کند از راه آزمایش و تجربه به کشف وظایف هر قسمت می پردازد. در حالی که یک ریاضی دای دان حتی اگر موضوعی با مشاهده برای او یقین شود مجبور است که آنرا با استدلال ثابت کند. یعنی صرف مشاهده برای به یقین رسیدن کافی نیست یک ریاضی دان هرگز نمی تواند بگوید که : “بنا براین همانطور که می بینید، دیده می شود که این زاویه قائمه می باشد.”

اصل
استدلال منطقی در وهله اول نیاز به همان فرضیات اولیه یا اصول دارد. یک اصل بنا به تعریف عبارت است از حکمی که نتوان برای صحت آن دلیل یا اثباتی ارائه کرد. یعنی اصول به این دلیل صحیح هستند که اصلا” مخالف آنرا عقل نمی پذیرد و آنها کاملا” با واقعیات و تجربیات دنیای ما منطبق می باشند. بعنوان مثال می گوییم دو مقدار مساوی با مقدار سوم، خود با هم مساوی هستند و یا در هندسه می گوییم : “به هر مرکز می توان دایره ای به شعاع دلخواه رسم کرد”. همانطور که مشاهده می شود صحت این دود گزاره بوضوح توسط عقل تایید می شوند.

قضیه
قضیه حکمی است که با استدلال می توان از اصول پذیرفته شده از قبل به آن رسید. بعنوان مثال اینکه می گوییم : “اگر رقم سمت راست عددی زوج باشد آن عدد زوج است” مطلبی نیست که بتوان آنرا پذیرفت بلکه باید بر اساس اصولی که در تئوری اعداد وجود دارد آنرا ثابت کرد.

همانطور که می دانید هر قضیه دو قسمت دارد یکی فرض و یکی حکم. دقت کنید که فرض با اصول اولیه حاکم بر علمی که در آن قضیه مطرح می شود متفاوت می باشد. مثلا هنگامی که می گوییم : “مجموع دو زاویه مجانب معادل دو قائمه می باشد” فرض آن است که دو زاویه مجانب می باشد و حکم آن است که ثابت کنیم مجموع آنها دو قائمه می باشد.